Det skal passe ind i hinanden

Lidt om de forunderlige tessalationer

Eschers værker giver både æstetiske og matematiske
oplevelser. Bemærk, at en »brik« består af to fugle.
Den hollandske kunstner M.C. Escher har vist, hvordan matematik kan danne grundlag for kunstneriske præstationer af så enestående art, at hans værker har slået verden med forundring. Ud over de kunstneriske oplevelser har mange af værkerne givet anledning til interessante matematiske analyser.

Det er naturligvis flytningsgeometri, det handler om - et vidtfavnende emne, der kan behandles på mange niveauer. En gren af det handler om mønsterdannelse og herunder de såkaldte tessalationer, dvs. flader, der er udfyldt af kongruente figurer, sammensat så ingen "tomrum" dannes.

De ukomplicerede grundfigurer

Tessalation af regulære sekskanter.
Fra dagligdagen kendes sådanne mønstre udmærket; Man sidder jo tit med prototypen på en tessalation foran sig: Det kvadrerede papirark. Andre mulige grundfigurer er ikke svære at få øje på: Parallelogrammer af en hver art, herunder rektangler; alskens trekanter, herunder de ligesidede. Lidt overvejelser skal til før man tør lukke "skæve" firkanter ind i folden, og hvad med femkanter? Det viser sig hurtigt, at den regulære femkant ikke klarer skærene i modsætning til den regulære sekskant, der jo i bicelle- sammenhæng netop viser sin formåen i den henseende.

Escher-ambitioner

Selv om der kan laves meget fine mønstre ud fra de nævnte grundfigurer, kommer der antagelig et tidspunkt, hvor man godt vil have større udfordringer. Hvad med at lave mere spændende tessalationer aŽ la Escher - men på "lavere blus"?

Selv om Escher vist aldrig officielt har røbet sin teknik, kan man godt i en del tilfælde tænke sig til, hvordan det kan gøres, og der ved selv få mulighed for at lave mønstre i samme stil - og måske findes blandt skoleungdommen et talent, der kan få "blod på tanden" til at løfte og videreføre arven; og så til sagen!

Enkle virkemidler

Man tager udgangspunkt i en figur, der i sig selv kan 'tessalere' f.eks. et kvadrat. Start med at ændre den ene side fra linjeformen til en anden figur. Den modstående side skal ændres på præcis samme måde, og straks har man en "brik", der ved idelig gentagelse udfylder planen.

Samme ændring af modstående sider skaber
en tessalationsbrik.
Denne ændring skaber en flok spætter!

En mere interessant figur kan udvikles ved også at ændre de to andre kvadratsider, f.eks. ændres de til 2 parallelle halvcirkler. - Og med lidt fantasi er der uden større anstrengelse skabt basis for at få en flok kyllinger ud af det.

Hvis begge par modstående sider deformeres,
dukker mange muligheder op.
Her er alle par af modstående sider ændret
på samme måde.

Går man ud fra et "aflangt" rektangel, kan dyrene dirigeres i en anden retning. Spændende mønstre kan også opnås ved at benytte en regulær sekskant som udgangsfigur. Der skal blot laves ændringer i et eller flere par af modstående sider.

Flere udfordringer

Ved en drejning af en ændret trekantside over på
en anden side, skabes en brik.
Ud over kvadratet og sekstanten, er der end nu én regulær polygon, der klarer at udfylde hele planen uden "huller": Den ligesidede trekant. Den har imidlertid ingen modstående sider, så andre veje må prøves. En mulighed er at ændre på en af siderne og derpå med en vinkelspids som centrum dreje ændringen over på en anden side, som vist. Når disse "brikker" skal samles, lægges de først i sekskant, så de kommer til at vende "modsat" hinanden. Trekantgrundlaget giver altså en ny mønstertype i forhold til kvadratgrundlaget, der er baseret på parallelforskydning.

Vejen er åben

En punktsymmetrisk ændring af trekantsiden
skaber også en brik.
I den ligesidede trekant kan man også blot ændre en side, så den nye kurve er spejlet i sidens midtpunkt, og der er da flere muligheder for at udfylde planen med figurerne.

I det sidste eksempel er udgangsfiguren en rhombe. Ændringskurven (i dette tilfælde 2 halvcirkler) skal være symmetrisk om sidens midtnormal, og drejes over i den tilstødende side. De således deformerede rhomber kan nu dække planen med et "isvaffelmønster" med vaflerne pegende hver sin vej, og med kuglerne vendende henholdsvis til højre og til venstre.

Med rhomben som grundfigur og en ændring af
to sider, skabes brikker til isvaffelmønstret.
Og så er vejen åbnet for at kunne dække flader med mønstre, der griber ind i hinanden på den ene eller den anden måde. - Og med fantasien i brug kan de mærkeligste væsener opstå!