Som eksempel kan vi betragte den meget dekorative hjertefrise:Fra indianerkulturen er der også kommet en mangfoldighed af eksempler på denne dekorationsform, og nu omstunder kan man f.eks. få tape, som er dekoreret på den måde - eller man kan besøge en butik, hvor der sælges syartikler, og se et righoldigt - og ofte smukt - udvalg af mønstrede kantbånd og borter.
Umiddelbart synes det meningsløst at ville spørge om, hvor mange forskellige slags friser, der findes. - En uendelighed af muligheder, vil man naturligvis svare, og det er jo for så vidt korrekt, hvis ikke der gøres nærmere rede for, hvad der skal menes med, at 2 friser er forskellige. Det svarer f.eks. til at spørge om, hvor mange forskellige slags naturlige tal, der findes - svaret afhænger af, hvad der skal forstås ved "forskellige slags" - Inddeler man tallene efter, hvilken rest de giver ved division med 7, er der således 7 slags; men inddeler man dem efter, om de er større end 7 eller ej, er der åbenbart kun 2 slags.
Det er en af matematikkens opgaver at skabe overblik over en uoverskuelig mangfoldighed, og vi må derfor prøve på at finde en passende sortering af friserne på grundlag af disses matematiske egenskaber uden hensyn til deres indhold i øvrigt.
Som eksempel kan vi betragte den meget dekorative hjertefrise:
Det bemærkes, at mønstret er sammensat af hjerter, som gentages med lige store mellemrum. Frisen kan således bringes til at dække sig selv ved en passende forskydning i grænselinjernes retning. Dette er den grundlæggende egenskab hos alle friser - i følge definition. Man kunne nu spørge, om det er muligt at få denne frise til at dække sig selv på anden måde end ved at foretage sådanne parallelforskydninger - også kaldet translationer.
Overføres mønstret til gennemsigtigt papir, ses det snart, at hvis papiret vendes, kan man også få mønstret ført over i sig selv. Det kan lade sig gøre, fordi enheden - hjertet - har en symmetriakse. Normalt kalder man den form forflytning en spejling i en akse vinkelret på grænselinjerne. Sætter man nemlig et spejl et passende sted på frisen, ser det ud som om den fortsætter inde i spejlet. Prøver man andre muligheder for at få mønstret til at dække sig selv, kommer man til kort - kun translationer og spejlinger af den beskrevne type "virker".
Eksemplet skulle antyde, at det kunne være af interesse at undersøge, hvilke muligheder en given frise har for at "føres over i sig selv" - og derved kunne man blive i stand til at ordne friserne i typer.
Skal en frise afbildes på sig selv ved en eller anden flytning, er den første betingelse, at grænselinjerne afbildes på sig selv ved flytningen, så det er nærliggende at se på, hvilke muligheder der er for at flytte 2 parallelle linjer, så de dækker sig selv. For at holde styr på tingene kan man give linjerne navnene, a og b, og endvidere sætte retningspile på dem, sådan:
A. Hvis linjerne efter en flytning igen "ser sådan ud", er der åbenbart tale om, at de glider i sig selv under flytningen hvis der da overhovedet er sket noget! Der er altså tale om en translation (parallelforskydning), og her er nogle friser, hvor denne flytningstype er den eneste mulige.
B. Hvis linjerne efter flytningen "igen ser sådan ud" er der 2 muligheder for flytningen. Enten er der tale om en spejling i linjen, der ligger midt imellem og parallel med grænselinjerne, eller også drejer det sig om en translation efterfulgt af en sådan spejling - eller omvendt
Den sidste type flytning kaldes en glidespejling.
B1. Eksempel på friser, som afbildes på sig selv ved midterlinjespejling og translationer (disse kan da også "klares" ved en glidespejling).
B2. Og her er eksempler på nogle friser, som udover translationerne har glidespejling som mulighed for "selvdækning":
C. Hvis grænselinjerne efter flytningen ligger således:
er der i realiteten kun en slags flytning, der kan klare det: Spejlingen i en lodret akse - den før omtalte hjertespejling.
Og her er nogle flere mønstre, som udover translationer kun har denne mulighed for at afbildes på sig selv:
D. Sidste mulighed for beliggenhed af grænselinjerne efter flytningen, som bringer dem tilbage på sig selv, er denne:
Det viser sig, at enhver flytning, som bringer dem til denne stilling, kan udføres som en halvdrejning om et punkt midt imellem a og b.
Eksempler på friser, som kun på denne måde kan komme til at dække sig selv - (som sædvanlig fraregnet translationer):
Hermed er alle muligheder for "slutstillinger af grænselinjerne behandlet. At der ikke kan blive tale om at pilene viser i hver sin retning til sidst, ligger i, at alle afstande bevares under en flytning. Vi fik altså på denne måde udskilt 5 forskellige frisetyper, som i denne forbindelse kan betegnes henholdsvis type A, B, B2, C og D. Næste spørgsmål bliver, om der findes friser, som f.eks. kan afbildes på sig selv både ved en midterlinjespejling og en "hjertespejling". - Det gør der! Her er nogle stykker:
Det ses, at disse friser "kan det hele", da de to spejlinger efter hinanden vil gøre det ud for en drejning. Dermed har vi afsløret endnu en type, som vi her vil kalde type BC.
Mon der kommer en ny type frem, hvis man betragter friser, som afbildes på sig selv ved både en midterliniespejling og en drejning? - Hvis man foretager de to flytninger efter hinanden, kommer grænselinjerne i position C, hvilket viser, at så findes der også en "hjertespejling", som afbilder frisen på sig selv, - så frisen var af BC-typen altså ikke noget nyt.
På tilsvarende måde kunne man nu gå alle 16 muligheder igennem for sammenstillede "flytninger", og det viser sig da, at der kun i et tilfælde kommer noget nyt frem: Friser, som kan afbildes på sig selv både ved en glidespejling og en drejning, vil også have mulighed for at gøre det ved en hjertespejling, men har ikke nødvendigvis også en midtlinjespejling "i sig" - derved er type B2D udskilt - og så er der heller ikke flere muligheder (læseren opfordres til at prøve efter). At type B2D også eksisterer, viser følgende eksempel:
Det viser sig altså, at tallet 7 igen stikker hovedet frem, når man skal opregne, hvor mange forskellige frisetyper, der findes - i matematisk forstand (ivr. Matematik nr. 1, 1977). Til sidst en række eksempler, som skal typebestemmes:
